Типы распределений

Различают дискретные и непрерывные вероятностные распределения. Дискретное распределение характеризуется тем, что оно сосредоточено в конечном или счетном числе точек. Непрерывное распределение "размазано" по некоторому вещественному интервалу.

Характеристики распределений

Вероятностное распределение может быть описано несколькими эквивалентными способами. Здесь приведены лишь некоторые из них.

• Функция распределения. Определена для любого вещественного распределения. Для случайной величины X ее функцией распределения называется , .
• Плотность распределения. Определена для непрерывных распределений. Представляет собой производную от функции распределения: , .
• Функция вероятности. Альтернативный способ описания дискретных распределений. Если распределение случайной величины X сосредоточено в конечном или счетном числе точек x₁, x₂,..., x_n,... то его можно описать вероятностями принятия случайной величиной X соответствующих значений:

  Значение	x1	x2	...	xn	...
  Вероятность	p1	p2	...	pn	...

  Здесь p_k = f(x_k) = P(X = x_k), k=1,2,...,n,...

• Математическое ожидание (среднее значение) EX случайной величины X. Представляет собой интеграл вида . Для непрерывной случайной величины может быть выражено также через плотность ее распределения , а для дискретной случайной величины - через функцию вероятности: .
• Дисперсия (рассеяние) случайной величины X имеет вид
  .

  В классических методах теории риска дисперсия часто использовалась в качестве меры риска, измерителя рискованности проектов.

• Стандартное отклонение случайной величины X задается выражением .
• Асимметрия распределения случайной величины X: . характеризует различие "хвостов" распределения; асимметрия положительна при более тяжелом правом хвосте, и отрицательна при более тяжелом левом хвосте. Для симметричных распределений асимметрия равна 0.
• Островершинность распределения случайной величины X: . характеризует тяжесть "хвостов" распределения; положительные значения этого параметра соответствуют распределениям с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения.
• Медианой a = med(X) распределения случайной величины X называется корень уравнения . Медиана является средней характеристикой распределения в том смысле, что X с равными вероятностями принимает значения, лежащие справа и слева от a. Преимуществом медианы перед математическим ожиданием является тот факт, что математическое ожидание может быть неопределенным, если задающий его интеграл (в дискретном случае - ряд) расходится, как, например, в случае распределения Коши. Недостатком медианы является ее возможная неоднозначность для дискретных распределений. Медиана симметричного распределения совпадает с его средним значением (если последнее существует).
• Модой распределения называется наиболее вероятное значение случайной величины: в непрерывном случае - точка максимума плотности распределения, в дискретном случае - точка максимума функции вероятности. Мода распределения может быть неоднозначной, и использование этого параметра в теории риска ограничено.

В разделе иллюстраций можно познакомиться с визуальным представлением средних значений треугольного распределения.

Другие характеристики распределений

Вероятностное распределение может быть описано и другими характеристиками. Среди них:

• Характеристическая функция. Определена для произвольных распределений. , . Здесь i - мнимая единица. Для непрерывного распределения характеристическую функцию можно также выразить через плотность распределения: , , а для дискретного распределения - через функцию вероятности , .

• Равномерное
• Нормальное
• Логнормальное
• Показательное
• Гамма
• Коши
• Стьюдента

• Вырожденное
• Бернулли
• Биномиальное
• Пуассона

• Таблица значений стандартной нормальной функции распределения
• Таблица значений функции распределения Стьюдента

Пользовательского поиска