Границы Фреше

Границы для событий

Пусть Z — пространство элементарных исходов, а A₁, A₂,…, A_n — конечная совокупность событий, то есть, подмножеств Z. Обозначим p_i = P( A_i ) вероятности этих событий. Границами Фреше называются верхняя U ( p₁ ,…, p_n ) и нижняя L ( p₁ ,…, p_n ) границы для вероятности пересечения всех событий A_i , i = 1, 2, …, n при фиксированных значениях вероятностей p_i , i = 1, 2, …, n:

L ( p₁ ,…, p_n ) ≤ P ( A₁ … A_n ) ≤ U ( p₁ ,…, p_n ) .

(1)

Эти границы имеют вид

L ( p₁ ,…, p_n ) = max ( 0 , p₁ + p₂ + … + p_n — n + 1 ), U ( p₁ ,…, p_n ) = min ( p₁ , p₂ ,…, p_n ).

(2)

Пример: распределения Бернулли

Пусть X₁ и X₂ — случайные величины с распределениями Бернулли с параметрами p, q, соответственно, то есть,

P ( X₁ = 1 ) = p , P ( X₁ = 0 ) = 1 — p , P ( X₂ = 1 ) = q , P ( X₂ = 0 ) = 1 — q .

Тогда для вероятности m = P( X₁ = 1, X₂ = 1 ) справедливы границы Фреше

max ( 0 , p + q — 1 ) ≤ m ≤ min ( p , q ) .

Пример: распределение случайного множества

Пусть K — случайное множество, обозначим p_x, p_y, p_xy вероятности покрытия точек x, y и дуплета {x,y}, соответственно, случайным множеством K. Тогда справедливы неравенства

max ( 0 , p_x + p_y — 1 ) ≤ p_xy ≤ min ( p_x , p_x ) .

Границы для функций распределения

Пусть ( X₁ , X₂ ,…, X_n ) — случайный вектор с функцией совместного распределения F_{X1 , X2 ,…, Xn} ( x₁ , x₂ ,…, x_n ) и маргинальными функциями распределения F_X1 ( x₁ ), F_X2 ( x₂ ),… F_Xn ( x_n ). Рассмотрим события A_i = (X_i ≤ x_i), i = 1, 2, …, n. Тогда формулы (1), (2) дают

max ( 0 , F_X1 ( x₁ ) + … + F_X1 ( x₁ ) — n + 1 ) ≤ ≤ F_X1,X2,…,Xn ( x₁ , x₂ ,…, x_n ) ≤ ≤ min ( F_X1 ( x₁ ), …, F_Xn ( x_n ) ).

(3)

Графики нижней и верхней границ Фреше для двумерного распределения на квадрате [0,1]² с равномерными маргинальными распределениями (минимальная и максимальная копулы) приведены в следующей иллюстрации.

Отметим здесь, что верхняя граница Фреше является функцией распределения, а нижняя граница Фреше является таковой только при n ≤ 2.